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Spazio e tempo: discreti o continui?

Se prendiamo un chilometro e lo dividiamo in due parti uguali, avremo la metà di un chilometro. Se dividiamo in parti uguali la metà di un chilometro, avremo un quarto di chilometro e così via fino a raggiungere una lunghezza che risulta più piccola del diametro di un atomo. La domanda è: questa operazione di suddivisione può proseguire all’infinito, oppure esiste un limite?

Il successo di alcune teorie moderne della gravità quantistica potrebbe dipendere dalla risposta a questa domanda. Questo rompicapo, però, risale ad almeno 2500 anni fa, cioè all’epoca in cui vennero introdotti una serie di paradossi dal filosofo greco Zenone di Elea, argomentazioni che rimasero misteriose dal V secolo a.C. fino ai primi anni dell’800. Anche se tali paradossi sono stati risolti, la domanda che essi hanno sollevato, e cioè se esiste una sorta di unità di misura minima oltre la quale non è possibile proseguire con la suddivisione, persiste ancora. Ma tra tutti i paradossi di Zenone, il più famoso è senz’altro il secondo, quello che riguarda Achille e la tartaruga. In questa sfida, la tartaruga parte più avanti rispetto alla posizione del più veloce Achille. Ora, almeno nel mondo reale delle corse podistiche, Achille raggiungerebbe molto facilmente la tartaruga ma Zenone andava affermando il contrario: in altre parole, Achille non avrebbe mai sorpassato la tartaruga perchè nel tempo durante il quale Achille avrebbe raggiunto il punto di partenza della tartaruga, quest’ultima si sarebbe spostata in avanti. Dunque, mentre Achille è impegnato a coprire questa ulteriore distanza, la tartaruga si muove ancora e per quanto egli possa provarci, Achille raggiungerà la posizione di partenza della tartaruga una volta che essa si è spostata e perciò egli non avrà modo di sorpassarla. Naturalmente, nella vita reale, Achille vincerebbe la gara. Perciò, secondo Zenone, le assunzioni di partenza che stanno alla base di questo scenario devono essere errate. In particolare, Zenone riteneva che lo spazio non fosse divisibile all’infinito, piuttosto esso possiede una sorta di lunghezza minima, la più piccola possibile. Ciò permette ad Achille di fare il passo finale superando la distanza che copre la tartaruga e in tal modo viene risolto il paradosso. Ci sono voluti più di duemila anni per sviluppare la matematica necessaria ma oggi sappiamo che le argomentazioni di Zenone erano chiaramente sbagliate. Una volta che i matematici compresero come sommare un numero infinito di passi progressivamente sempre più piccoli, essi furono in grado di calcolare il momento esatto per cui Achille supera la tartaruga, provando che non avviene in un tempo infinito, anche se lo spazio è indefinitamente divisibile. Il paradosso di Zenone è risolto, ma il problema che riguarda l’esistenza della più piccola unità di lunghezza rimane ancora. Oggi, alcuni fisici ritengono che l’esistenza di una lunghezza minima assoluta potrebbe eliminare un altro tipo di non-senso logico: stiamo parlando degli infiniti che emergono quando si tenta di descrivere la relatività generale in termini quantistici, argomenti meglio noti come “gravità quantistica”. Quando i fisici provarono a calcolare nella nuova teoria le probabilità, gli integrali fornirono degli infiniti, un risultato decisamente inutile. In questo caso, gli infiniti non erano dei veri e propri errori ma una chiara conseguenza dell’applicazione delle regole quantistiche alla teoria della gravità di Einstein. Tuttavia, ammettendo l’esistenza di una unità minima di lunghezza, la più piccola possibile come del resto fece lo stesso Zenone, i teorici furono in grado di ridurre gli infiniti ad un insieme di numeri finiti. Un modo per ottenere una lunghezza finita è quello di “ritagliare a pezzi” lo spazio e il tempo, rendendolo discreto: Zenone sarebbe stato felice. Allo stesso tempo, però, egli si sarebbe confuso. Mentre quasi tutto ciò che si avvicina alla gravità quantistica si riduce, in qualche modo, ad una lunghezza minima, non tutti gli approcci seguono la stessa strada, cioè dei processi di “discretizzazione” dello spazio e del tempo. In alcune teorie della gravità quantistica, la lunghezza minima emerge da una sorta di “risoluzione limite”, senza richiedere la necessità del concetto di spazio e tempo “discreti”. Pensiamo, un attimo, di osservare alcuni campioni con un microscopio. Se ingrandiamo troppo, si arriva ad una risoluzione limite oltre la quale l’immagine diventa indistinta. Se ingrandiamo l’immagine di una foto digitale, si arriva al punto in cui si vedono i pixel: un ulteriore zoom non permetterà di rivelare altri dettagli. In entrambi i casi c’è una risoluzione limite, ma solo nel secondo caso essa è dovuta al concetto di “discretizzazione”. Negli esempi suddetti, questi limiti, che non sono fondamentali, potrebbero essere superati da una migliore tecnologia nella realizzazione delle immagini. In altre parole, una risoluzione limite dovuta al comportamento quantistico dello spazio e del tempo sarebbe invece fondamentale e non potrebbe essere superata da alcuna tecnologia. Perciò, per formulare una teoria quantistica della gravità sembra necessaria l’esistenza di una risoluzione limite in modo da eliminare il problema degli infiniti.

Un’altra domanda che emerge di conseguenza riguarda la natura dello spaziotempo per cui fino ad oggi i ricercatori non si sono trovati concordi: in altre parole, ci si chiede se lo spaziotempo rimane “regolare” e “continuo” anche su scale quantistiche o se invece diventa “irregolare” e “granuloso”. Ad esempio, nella teoria delle stringhe la risoluzione è limitata dall’estensione delle stringhe e non perchè qualsiasi cosa sia discreta. In un’altra teoria concorrente, detta della gravità quantistica a loop, lo spazio e il tempo sono ridotti in “blocchi discreti”, il che dà luogo ad una lunghezza, area e volume dello spaziotempo i cui valori, espressi in unità della lunghezza di Planck, sono i più piccoli possibili e rappresentano i “mattoni fondamentali” del nostro Universo. Un altro approccio alla gravità quantistica, detto “asymptotically safe gravity“, ha una risoluzione limite ma nessuna discretizzazione. Ancora, un altro approccio, detto degli “casual sets”, si basa esplicitamente sul concetto di discretizzazione. E non è tutto. Einstein ci ha insegnato che lo spazio e il tempo sono interconnessi e formano una entità dinamica chiamata “spaziotempo”. La maggior parte dei fisici onorano i concetti di Einstein perciò diversi approcci alla gravità quantistica considerano sia lo spazio che il tempo o entrambi continui o entrambi discreti. Tuttavia, alcuni teorici affermano che solo lo spazio o solo il tempo possono essere discreti. Dunque, come fanno i fisici a capire se lo spaziotempo è effettivamente discreto o continuo? Misurare direttamente la struttura discreta è impossibile, perchè è estremamente piccola. Ma secondo alcuni modelli, la natura discreta dello spaziotempo dovrebbe influenzare il moto delle particelle nello spazio. Si tratta di un effetto decisamente piccolo ma che si somma nel caso di particelle che percorrono lunghe distanze cosmiche. Se ciò è vero, tale effetto potrebbe deformare, sparpagliandole, le immagini di oggetti stellari molto remoti oppure potrebbe sfasare i tempi di arrivo di particelle emesse simultaneamente che poi arriverebbero sulla Terra contemporaneamente. Gli astronomi hanno tentato di cercare queste tipologie di segnali ma non hanno trovato evidenze della più piccola granulosità relativa alla struttura dello spaziotempo. Anche se gli effetti diretti sul moto delle particelle non sono misurabili, si potrebbero ancora osservare dei difetti nella struttura discreta dello spaziotempo. Immaginiamo, ad esempio, lo spaziotempo come un diamante. Persino le rare imperfezioni delle struttura atomica possono “rovinare”, per così dire, l’abilità del cristallo nel far propagare la luce in modo ordinato, il che incide sulla clarità del diamante. È noto che se ci troviamo in una gioielleria la perfezione di un diamante, estremamente rara, definisce il suo prezzo. La stessa cosa succede con lo spaziotempo. Se lo spaziotempo è discreto, ci saranno delle imperfezioni e anche se rare esse influenzeranno la propagazione dei raggi luminosi nello spazio. Nessuno, però, hai mai visto finora questo effetto ed esistono diversi progetti che hanno lo scopo di studiarlo.

Infine, per una migliore formulazione della teoria quantistica della gravità, trovare o meno delle chiare evidenze riconducibili alla natura discreta dello spaziotempo sarebbe un passo in avanti verso la soluzione di un paradosso dell’epoca moderna: stiamo parlando del paradosso dell’informazione dei buchi neri, introdotto nel 1974 da Stephen Hawking. Sappiamo che i buchi neri possono solo immagazzinare l’informazione di ciò che vi si è precipitato dentro, un’altra indicazione dell’esistenza di una risoluzione limite, ma non sappiamo esattamente come essi codifichino questa informazione. Nonostante il paradosso dell’informazione dei buchi neri sia alquanto dibattuto, quasi certamente Zenone lo avrebbe apprezzato. Speriamo, quindi, di non aspettare altrettanti duemila anni prima di arrivare ad una sua eventuale soluzione.

arXiv: Minimal Length Scale Scenarios for Quantum Gravity

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